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已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2 $数学公式$ ），且离心率e满足： $数学公式$ ，e， $数学公式$ 成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=- $数学公式$ 平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）依题意，∵ $\text{[math]}$ ，e， $\text{[math]}$ 成等比数列，∴e= $\text{[math]}$ ．
又F₁（0，-2 $\text{[math]}$ ），c=2 $\text{[math]}$ ，∴a=3，
∴b= $\text{[math]}$ =1，
∴所求方程为x²+ $\text{[math]}$ y²=1
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=- $\text{[math]}$ 平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由 $\text{[math]}$ 消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴m= $\text{[math]}$ ②
把②代入①式中得 $\text{[math]}$ -（k²+9）＜0
∴k＞ $\text{[math]}$ 或k＜- $\text{[math]}$
∴直线l倾斜角α∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：（1）利用离心率e满足： $\text{[math]}$ ，e， $\text{[math]}$ 成等比数列，可求离心率，结合焦点F₁（0，-2 $\text{[math]}$ ），求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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