Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时．y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（2，+∞）上的解析式；
（2）在所给的直角坐标系直接画出函数y=f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设y=a（x-3）²+4，再把点A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a的值，可得此式函数的解析式．再根据函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，可得函数在R上的解析式．
（2）由函数的解析式作出函数f（x）的图象．
（3）由函数f（x）的图象，可得函数的值域．

解答： 解：（1）∵当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，
可设y=a（x-3）²+4，再把点A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，∴y=-2（x-3）²+4（x＞2）．
∴由于函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，故函数的解析式为 f（x）=

|x|，-2≤x≤2 -2(x-3)2+4，x＞2 -2(x+3)2，x＜-2

．
（2）函数f（x）的图象如图所示：
（3）由函数f（x）的图象，可得函数的值域为（-∞，4]．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，偶函数的图象特征，求函数的值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．