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已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式
f(p+1)-f(q+1)p-q
>1
恒成立,则实数a的取值范围是
 
分析:由于
f(p+1)-f(q+1)
p-q
 表示点(p+1,f(p+1)) 与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,故函数图象上在区间
(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,故有 f (x)=
a
x+1
-2x>1 在(1,2)内恒成立,即 a>2x2+3x+1在
(1,2)内恒成立,由此求得a的取值范围.
解答:解:由于
f(p+1)-f(q+1)
p-q
 表示点(p+1,f(p+1)) 与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,
因实数p,q在区间(0,1)内,故p+1 和q+1在区间(1,2)内.
∵不等式
f(p+1)-f(q+1)
p-q
>1
恒成立,∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,
故函数的导数大于1在(1,2)内恒成立.
由函数的定义域知,x>-1,∴f′(x)=
a
x+1
-2x>1 在(1,2)内恒成立.
即 a>2x2+3x+1在(1,2)内恒成立.
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1,2]上是单调增函数,
故 x=2时,y=2x2+3x+1 在[1,2]上取最大值为15,∴a≥15,
故答案为[15,+∞).
点评:本题考查斜率公式的应用,函数的恒成立问题,以及利用函数的单调性求函数的最值.
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a-x2
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1
2
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1
4
)
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