Question

【题目】已知函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+ t成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0， f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以f（x﹣3）=|x|﹣m+1≥0，
所以|x|≥m﹣1的解集为为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以m﹣1=2，
所以m=3；
（II）由（I）得f（x）=|x+3|﹣2
∵x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+ t 成立
即x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+ t+2成立
令g（x）=|x+3|=|2x﹣1|=
故g（x）max=g（ ）=
则有 |≥﹣t2+ t+2，即|2t2﹣5t+3≥0．
解得t≤1或t≥ ，
∴实数t的取值范围是t≤1或t≥
【解析】（1）将不等式转化为|x|≥m﹣1，根据其解集情况，确定m；（2）将不等式转化为x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+ t+2成立，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．