Question

5．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心O距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0，t≥0）．
（Ⅰ）求f（t）的单调减区间；
（Ⅱ）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意求出A，ω 和φ，即可求函数f（t）的解析式；再求f（t）的单调减区间
（Ⅱ）根据函数f（t）的解析式，化简计算f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：每转一圈需要6min，摩天轮的半径为40m，可得$ω=\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
其中心O距离地面40.5m，即h=40.5，φ=-$\frac{π}{2}$．
故函数f（t）的解析式：f（t）=40sin（$\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}$）+40.5．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，（k∈N）
解得：3+6k≤t≤6+6k．
故f（t）的单调减区间为[3+6k，6+6k]，（k∈N）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（t）=40sin（$\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}$）+40.5=40.5-40cos（$\frac{π}{3}t$）
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3-（40cos（$\frac{π}{3}t$）-40cos[$\frac{π}{3}$（t+2）]-40cos[$\frac{π}{3}$（t+4）]
=121.5-40cos$\frac{π}{3}t$-40cos（$\frac{π}{3}t+\frac{2π}{3}$）-40cos（$\frac{π}{3}t+\frac{4π}{3}$）．
∵cos$\frac{π}{3}t$+cos（$\frac{π}{3}t+\frac{2π}{3}$）+cos（$\frac{π}{3}t+\frac{4π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}t$-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}t$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}t$-cos（$\frac{π}{3}t$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{π}{3}t$=0
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5
故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系