Question

点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1．
①求M的轨迹方程；
②若过F（2，0）点倾斜角为45°的直线与M的轨迹交于A、B两点，求△ABO面积．

Answer 1

分析：①由题意得点M到点F（2，0）的距离等于M到直线x=-2的距离，根据抛物线定义，可得点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-2为准线的抛物线，求出抛物线的方程为y²=8x，即可得到点M的轨迹方程；
②算出直线AB的方程为y=x-2，与抛物线方程联解，消去y可得y²-8y-16=0．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用一元二次方程根与系数的关系算出|y₁-y₂|=8

2

，再根据三角形面积公式加以计算，可得△AB0的面积．

解答：解：①设M（x，y），
∵点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，
∴点M到点F（2，0）的距离等于M到直线x=-2的距离
由抛物线定义得：点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-2为准线的抛物线．
设抛物线方程为y²=2px（p＞0），可得

p

2

=2，p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x，即为点M的轨迹方程；
②∵直线的倾斜角为45°，
∴直线的斜率k=tan45°=1，
可得直线的方程为y=1×（x-2），即y=x-2．
由

y=x-2 y2=8x

消去x，整理得y²-8y-16=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y 1y2

=

64-4×(-16)

=8

2

，
因此，△AB0的面积S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×2×8

2

=8

2

．

点评：本题求动点M的轨迹方程，并依此求满足条件的△AB0的面积．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．