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点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1.
①求M的轨迹方程;
②若过F(2,0)点倾斜角为45°的直线与M的轨迹交于A、B两点,求△ABO面积.
分析:①由题意得点M到点F(2,0)的距离等于M到直线x=-2的距离,根据抛物线定义,可得点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-2为准线的抛物线,求出抛物线的方程为y2=8x,即可得到点M的轨迹方程;
②算出直线AB的方程为y=x-2,与抛物线方程联解,消去y可得y2-8y-16=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),利用一元二次方程根与系数的关系算出|y1-y2|=8
2
,再根据三角形面积公式加以计算,可得△AB0的面积.
解答:解:①设M(x,y),
∵点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1,
∴点M到点F(2,0)的距离等于M到直线x=-2的距离
由抛物线定义得:点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-2为准线的抛物线.精英家教网
设抛物线方程为y2=2px(p>0),可得
p
2
=2,p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x,即为点M的轨迹方程;
②∵直线的倾斜角为45°,
∴直线的斜率k=tan45°=1,
可得直线的方程为y=1×(x-2),即y=x-2.
y=x-2
y2=8x
消去x,整理得y2-8y-16=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1+y2=8,y1y2=-16,
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y 1y2
=
64-4×(-16)
=8
2

因此,△AB0的面积S=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
×2×8
2
=8
2
点评:本题求动点M的轨迹方程,并依此求满足条件的△AB0的面积.着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.
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已知动点M到点F(-
2
,0)的距离与到直线x=-
2
2
的距离之比为
2

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(2)若过点E(0,1)的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B,点P(-2,0)满足
PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)
,求直线PN在y轴上的截距d的取值范围.

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