Question

（2009•青岛一模）设椭圆M：

x2

a2

+

y2

8

=1(a＞2

2

)的右焦点为F₁，直线l：x=

a2

a2-8

与x轴交于点A，若

OF1

+2

AF1

=

0

（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定A，F₁的坐标，利用

OF1

+2

AF1

=

0

，建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用向量的数量积运算，将求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值，利用配方法可求．

解答：解：（Ⅰ）由题设知：A(

a2

a2-8

，0)，F1(

a2-8

，0)
由

OF1

+2

AF1

=

0

得：

a2-8

=2(

a2

a2-8

-

a2-8

)
解得a=2

6

，
∴椭圆M的方程为M：

x2

24

+

y2

8

=1
（Ⅱ）

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NP

)2-

NF

2=

NP

2-1
从而将求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值
P是椭圆M上的任一点，设P（x₀，y₀），则有

x02

24

+

y02

8

=1，即x02=24-8y02
又N（0，2），
∴

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+30
∵y0∈[-2

2

，2

2

]，
∴当y₀=-1时，

NP

2取最大值30
∴

PE

•

PF

的最大值为29…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，属于中档题．