Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（3ωx+ ），其中ω＞0
（1）若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
（2）若f（x）在（0， ]上是增函数，求ω的最大值；
（3）当ω= 时，将函数f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由函数解析式f（x）=2sin（3ωx+ ），ω＞0整理可得

f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+ ]=2sin（3ωx+3ωθ+ ），

由f（x+θ）的周期为2π，根据周期公式2π= ，且ω＞0，得ω= ，

∴f（x+θ）=2sin（x+θ+ ），

∵f（x+θ）为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，

令g（x）=f（x+θ）=2sin（x+θ+ ），

∴g（﹣x）=g（x），

2sin（x+θ+ ）=2sin（﹣x+θ+ ），

∴x+θ+ =π﹣（﹣x+θ+ ）+2kπ，k∈Z，

∴θ=kπ+ ，k∈Z．∴ω= ，θ=kπ+ ，k∈Z．

（2）

解：∵ω＞0，

∴当x∈（0， ]时，3ωx+ ∈（ ，ωπ+ ]，

设u=3ωx+ ，由于y=sinu在（ ， ]上是增函数，在[ ， ]上是减函数，所以ωπ+ ≤ ，∴ω≤ ，∴ω的最大值为

（3）

解：当ω= 时，将函数f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1，

令g（x）=0，得x=kπ+ 或x=kπ+ ，k∈Z，

所以在[0，π]上恰好有两个零点，

若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，

则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+ = ．

【解析】（1）根据周期公式2π= ，且ω＞0，得ω值，根据f（x+θ）是偶函数，f（﹣x+θ）=f（x+θ），可得θ的值；（2）根据正弦函数的单调性，可得ωπ+ ≤ ，解得答案；（3）若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得到答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．