Question

已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA为等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦的化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC周长，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．

解答： 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=60°；
（2）∵b=2，sinB=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，即a=

4 3

3

sinA，c=

4 3

3

sinC，
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周长为a+b+c=

4 3

3

（sinA+sinC）+2=

4 3

3

[sinA+sin（120°-A）]+2=

4 3

3

×2sin60°cos（A-60°）+2=4cos（A-60°）+2，
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴

1

2

＜cos（A-60°）≤1，即4＜4cos（A-60°）+2≤6，
则△ABC周长的最大值为6．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题关键．