Question

（2009•嘉定区一模）已知函数f（x）=x|x-1|-1．
（1）求满足f（x）=x的x值；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）解不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

Answer 1

分析：（1）讨论x的范围，将绝对值去掉得到分段函数，然后求解方程f（x）=x，即可求出满足条件的x；
（2）分段研究该函数的单调性，从而求出该函数的单调区间；
（3）当x≥1时，解不等式x²-x-1＜0，当x＜1时，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，从而求出满足条件的x的范围．

解答：解：（1）f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，…（1分）
所以，当x≥1时，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得x=1±

2

，
因为x≥1，所以x=1+

2

．…（2分）
当x＜1时，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，无实数解．…（3分）
所以，满足f（x）=x的x值为1+

2

．…（4分）
（2）由f(x)=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，
当x≥1时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞）；…（6分）
当x＜1时，f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

2

]．…（8分）
所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，

1

2

]和[1，+∞）．…（9分）
（3）当x≥1时，由x²-x-1＜0得1≤x＜

1+ 5

2

，…（12分）
当x＜1时，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…（15分）
所以，不等式f（x）＜0的解集为(-∞， 

1+ 5

2

)．…（16分）

点评：本题主要考查了含绝对值的函数的单调性以及解方程，同时考查了分段讨论的思想，属于中档题．