Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1（k∈N*）的正整数x的个数．
（1）求f（k）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），P_n=n²+n-1（n∈N*）试比较S_n与P_n的大小．

Answer 1

分析：（1）、由log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1可知

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

，解这个不等式组得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式．
（2）、由S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+2²+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1可知S_n-P_n=2ⁿ-n²．n=1时，S₁-P₁=2-1=1＞0；n=2时，S₂-P₂=4-4=0；n=3时，S₃-P₃=8-9=-1＜0；n=4时，S₄-P₄=16-16=0；n=5时，S₅-P₅=32-25=7＞0；n=6时，S₆-P₆=64-36=28＞0．猜想，当n≥5时，S_n-P_n＞0．然后用数数归纳法进行证明．

解答：解：（1）∵log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2k-1
∴

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

，
解得2^k-1≤x≤2^k，∴f（k）=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+2²+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1
∴S_n-P_n=2ⁿ-n²
n=1时，S₁-P₁=2-1=1＞0；n=2时，S₂-P₂=4-4=0
n=3时，S₃-P₃=8-9=-1＜0；n=4时，S₄-P₄=16-16=0
n=5时，S₅-P₅=32-25=7＞0；n=6时，S₆-P₆=64-36=28＞0
猜想，当n≥5时，S_n-P_n＞0
①当n=5时，由上可知S_n-P_n＞0
②假设n=k（k≥5）时，S_k-P_k＞0
当n=k+1时，S_k+1-P_k+1=2^k+1-（k+1）²=2•2^k-k²-2k-12（2^k-k²）+k²-2k-1
=2（S_k-P_k）+k²-2k-1＞k²-2k-1=k（k-2）-1≥5（5-2）-1=14＞0
∴当n=k+1时，S_k+1-P_k+1＞0成立
由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S_n-P_n＞0成立即S_n＞P_n成立
由上分析可知，当n=1或n≥5时，S_n＞P_n
当n=2或n=4时，S_n=P_n
当n=3时，S_n＜P_n．

点评：本题考查对数函数的综合运用和数学归纳法的证明．解题时要进行合理猜想，并注意数学归纳法的证明步骤．