Question

4．设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$内的随机点，函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域图形的面积，再求出f（x）在区间[1，+∞）上是增函数时满足的条件所表示的平面区域面积，利用几何概型的概率公式求出概率即可．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示，
对应的图形为△OAB，其中对应面积为S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
若f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，
则满足a＞0且对称轴x=-$\frac{-4b}{2a}$=$\frac{2b}{a}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，对应的平面区域为△OBC，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴对应的面积为S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为P=$\frac{\frac{8}{3}}{8}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目．