Question

第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园．在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块．在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=

使用的冰块数

所采冰块总数

，假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75．
（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望；
（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率．

Answer 1

分析：（1）任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为

1

4

，采出的冰块中有放回地抽取，故可看作独立重复试验，其分布份额和二项分布．
（2）“采出的冰块中任取一块，它被利用”可分成三个互斥事件的并事件：甲队所采并被利用、乙队所采并被利用、丙队所采并被利用，分别利用条件概率公式求概率，再取和即可．

解答：解：（1）任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为

1

4

依题意ξ=0，1，2，3，且ξ～B(3，

1

4

)（1分）
P(ξ=k)=

C

k 3

×(

1

4

)k×(

3

4

)3-k(k=0，1，2，3)
P(ξ=0)=

27

64

，P(ξ=1)=

27

64

P(ξ=2)=

9

64

，P(ξ=3)=

1

64

∴ξ的分布列为
（5分）
∴Eξ=3×

1

4

=

3

4

（6分）
（2）用A₁表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；
A₂表示事件“冰块是由乙工作队采出的”；
A₃表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，
用B表示事件“采出的冰块能被利用”，（8分）
则P（A₁）=0.25，P（A₂）=0.35，P（A₃）=0.40，
P（B|A₁）=0.8，P（B|A₂）=0.6，P（B|A₃）=0.75，（10分）
P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）+P（BA₃）
=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）
=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75
=0.71
答：采出的冰块能被利用的概率是0.71．（12分）

点评：本题考查二项分布的分布列、期望、及条件概率、互斥事件的概率等知识，同时考查抽象概括能力和运用所学知识解决问题的能力．