Question

已知函数f（x）=

sinx-cosx-2x2+x-1

2x2+cosx+1

的最大值是M，最小值为N，则M，N有什么关系？

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：把已知函数化简可得f（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

-1，构造函数g（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

，利用定义可知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，即最值和为0，而g（x）取最大值（最小值）时f（x）取最小值（最大值），整体代入求值．

解答： 解：∵f（x）=

sinx-cosx-2x2+x-1

2x2+cosx+1

=

sinx+x

2x2+cosx+1

-1
令g（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

，
则f（x）=g（x）-1，g（-x）=

sin(-x)-x

2(-x)2+cos(-x)+1

=-g（x），
∴函数g（x）为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对称，
即函数g（x）的最值的和为0．
∵f（x）=g（x）-1，
∴M+m=g（x）_min-1+g（x）_max-1=-2．

点评：本题考查了利用函数的性质：奇偶像解决函数的最值问题，解题时，不是把最大及最小值分别求出，而是利用整体思想求解，要灵活运用该方法．