Question

若关于x的方程

|x|

(x+4)

=kx²有4个不同的实数解，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：易知x=0是方程

|x|

(x+4)

=kx²的一个实数解，故关于x的方程

|x|

(x+4)

=kx²有3个不同的非零实数解，即y=k（x+4）与y=

1

|x|

有3个不同的交点，从而作图求解．

解答： 解：易知x=0是方程

|x|

(x+4)

=kx²的一个实数解，
故关于x的方程

|x|

(x+4)

=kx²有3个不同的非零实数解，
即k|x|（x+4）=1有3个不同的非零实数解，
故y=k（x+4）与y=

1

|x|

有3个不同的交点，
作y=k（x+4）与y=

1

|x|

的图象如下，

设切点为（x，-

1

x

），y′=

1

x2

；
故由

1

x2

=

- 1 x

x+4

解得，x=-2；
故k=

1

4

；
结合图象可知，k的取值范围是[

1

4

，+∞）；
故答案为：[

1

4

，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．