Question

有4名老师和4名学生站成一排照相．（必须写出解析式再算出结果才能给分）
（1）4名学生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（2）任两名学生都不能相邻，共有多少种不同的排法？
（3）老师和学生相间排列，共有多少种不同的排法？

Answer 1

分析：（I）相邻问题用“捆绑法”，把4个学生绑在一起，看做一个整体，有A₄⁴种方法，将此整体和4个老师进行全排列，有A₅⁵种方法，根据分步计数原理求得满足条件的排法种数．
（II）不相邻问题用“插空法”，先将4个老师进行用全排列有A₄⁴种方法，再把4个学生插入5个空中的4个中去，有A₅⁴种方法，根据分步计数原理求得满足条件的排法种数．
（III）只有两种间隔法，即老师在排头，或学生在排头，可得共有 2A₄⁴A₄⁴种不同的排法．

解答：解：（I）用“捆绑法”把4个学生绑在一起，看做一个整体，有A₄⁴种方法，
将此整体和4个老师进行全排列，有A₅⁵种方法，
根据分步计数原理求得满足条件的排法共有 A₄⁴A₅⁵=2880种．    （4分）
（II）先将4个老师进行用全排列有A₄⁴种方法，再把4个学生插入5个空中的4个中去，有A₅⁴种方法，
故用“插空法”求得任两名学生都不能相邻的排法共有 A₄⁴A₅⁴=2880种．    （8分）
（III）只有两种间隔法，即老师在排头，或学生在排头，可得共有 2A₄⁴A₄⁴=1152 种不同的排法． （12分）

点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析．相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．