Question

【题目】《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：

组数	分组	认同人数	认同人数占 本组人数比
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55）	15	0.3

（1）完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．
（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设[25，30）年龄段人数为x人，

由题意 ，解得x=200，

∵[25，30）年龄段人数的频率为0.04×5=0.2，

∴ ，解得n=1000．

∵[30，35）年龄段人数的频率为：1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，

∴[30，35）年龄段人数为0.3×1000=300，

∴p= =0.65，

∵[40，45）年龄段人数的频率为0.03×5=0.15，

∴[40，45）年龄段人数为0.15×1000=150，

∴a=150×0.4=60．

完成频率分布直方图如下：

（2）解：由（1）得[40，45）年龄段中认同人数为60人，[45，50）两段中认同人数为30人，

按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，[40，45）年龄段中抽取6人，[45，50）年龄段中抽取3人，

ξ的可能取值为0，1，2，

P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P

Eξ= = ．

【解析】（1）由频率= ，利用已知条件能完成所给频率分布直方图，并能求出n，a，p．（2）由[40，45）年龄段中认同人数为60人，[45，50）两段中认同人数为30人，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，[40，45）年龄段中抽取6人，[45，50）年龄段中抽取3人，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【考点精析】掌握频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．