Question

（2005•温州一模）已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n} 的通项公式．
（2）若2ⁿ≥tS_n 对于任意的n∈N^* 恒成立，求实数t 的最大值．

Answer 1

分析：（1）令n=1求出首项，然后根据4a_n=4S_n-4S_n-1进行化简得a_n-a_n-1=2，从而得到数列{a_n}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（2）若2ⁿ≥tS_n对于任意的n∈N^*恒成立，则t≤min{

2n

n2

}，然后研究数列的单调性，可求出t的范围，从而求出所求．

解答：解：（1）∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1．当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，又{a_n}各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2．数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2n-1．
（ 2）S_n=n²，若2ⁿ≥tS_n对于任意的n∈N^*恒成立，则t≤min{

2n

n2

}．令bn=

2n

n2

，．
当n≥3时，

bn+1

bn

=

2n2

(n+1)2

=

n2+(n-1)n+n

n2+2n+1

＞1．
又b1=2，b2=1，b3=

8

9

，
∴min{bn}=min{

2n

n2

}=

8

9

．
∴t的最大值是

8

9

．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及恒成立问题和转化的数学思想，属于中档题．