Question

若m，n是关于x的方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是

8

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程有两个根，利用根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把所给的函数式整理成m+n与mn的形式，代入进行，根据二次函数的性质计算求解最值．

解答：解：依方程有两个实根得到△=4a²-4（a+6）≥0，
即a²-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根与系数的关系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）²+（n-1）²=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-6a-10，
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
∴根据二次函数的性质知a=3时，y的最小值为8．（12分）
故答案为：8

点评：本题考查二次函数的最值问题，一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是利用根的判别式求出a的取值范围，求解区间上二次函数的最值，本题是一个中档题目．