Question

定义在R上的函数为奇函数．给出下列结论：①函数f（x）的最小正周期是；②函数f（x）的图象关于点（，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线对称；④函数f（x）的最大值为．其中所有正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①：由题意可得f（x+5）=-f（x+）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为5；②：由y=f（x+）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x+）向右平移 个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（，0）对称；③：f（x+）+f（x）=0，f（-x+）+f（-x）=0，则f（-x+）=f（x+），函数f（x）的图象关于直线x=对称；④：函数f（x）的最大值不为．
解答：解：①：由题意可得f（x+5）=-f（x+）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为5，故①错误；
②：由y=f（x+）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x+）向右平移 个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（，0）对称，故②正确；
③：f（x+）+f（x）=0
f（-x+）+f（-x）=0
则f（-x+）=f（x+）
函数f（x）的图象关于直线x=对称，故③正确；
④：函数f（x）的最大值不为，故④不正确．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．