Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析：（1）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；当x=0时f（x）=0；
（2）分段画出f（x）的图象．
（3）当x大于0时，小于0，等于0时，把（1）得到的相应的解析式代入方程中，求出方程的解集即可．

解答：解：（1）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域R内是奇函数（2分）
所以f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）=x²-3，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-3，即f（x）=3-x²，
则 f(x)=

x2-3(x＞0) 0  (x=0) 3-x2(x＜0)

；（6分）
（2）函数f（x）的图象为：

（3）∵当x＞0时，x²-3=2x，
解得：x=3，
当x=0时，有0=2x
解得x=0
当x＜0时，3-x²=2x，
化简得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x=-3
所以方程的解集为{3，0，-3}

点评：此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法，考查了一元二次不方程的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．