Question

如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=EF=2，AF=BE=2．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先证明AM⊥FA，再根据DA⊥面ABEF，AM?面ABEF，可得AM⊥DA，利用线面垂直的判定定理证明AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求出平面DEF、平面ADF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-DF-E的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：∵M为EF的中点，
∴EM=AB=2
∵AB∥EF
∴四边形ABEM是平行四边形
∴AM=BE=2
∵AF=2，MF=
∴△FAM为直角三角形且∠FAM=90°
∴AM⊥FA
∵DA⊥面ABEF，AM?面ABEF
∴AM⊥DA
∵DA∩FA=A
∴AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）解：如图，以A为原点，以AM、AF、AD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
可得=（2，0，0），=（-2，2，0），=（0，2，-1），
设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则．
∴，∴可取=（1，1，2）
∵AM⊥平面ADF，∴=（2，0，0）是平面ADF的一个法向量
∴cos＜＞===
∴二面角A-DF-E的余弦值为．
点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．