【题目】已知抛物线的焦点为F,过点F,斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R(1,2)的两点D、E,若直线DR,ER分别交直线于M,N两点,求|MN|取最小值时直线DE的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)过点F且斜率为的直线方程与抛物线的方程联立,利用求得的值,即可求得抛物线的方程;
(2)设D(x1,y1),E(x2,y2),直线DE的方程为,直线的方程为,由题意求出得值,建立的解析式,再求出的最小值以及直线的方程.
(1)抛物线的焦点为,
直线方程为:,
代入中,消去y得: ,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有,
由,得,即,解得,
所以抛物线C的方程为:;
(2)设D(x1,y1),E(x2,y2),直线DE的方程为,如图所示,
由,消去,整理得:,
∴,
设直线DR的方程为,
由,解得点M的横坐标,
又k1==,∴xM==-,
同理点N的横坐标,
=4,
∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==,
令,则,
∴|MN|==
所以当,即时,|MN|取最小值为,
此时直线DE的方程为.
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【题目】已知常数,向量,,经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点,其中.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若,过的直线交曲线于,两点,求的取值范围.
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【题目】近年来,网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众,某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计,商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
(I)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系?
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
P(K2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是棱AB的中点,动点F是侧面ACC1A1(包括边界)上一点,若EF//平面BCC1B1,则动点F的轨迹是( )
A.线段B.圆弧
C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;
(2)已知P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的切线,切点为A,求|PA|的最大值.
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【题目】已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(﹣1,)在椭圆C上,且|PF2|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满足3(O为坐标原点),求直线l的方程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知为椭圆的上顶点,P为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点.当点P的横坐标为时,.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设M为x轴的正半轴上的一个动点.
①若点P在第一象限内,且以AP为直径的圆恰好与x轴相切于点M,求AP的长.
②若,是否存在点N,满足,且AN的中点恰好在椭圆E上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆的焦点在轴上.
(1)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
(2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.
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