Question

8．设a≥0，若y═cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4．
（1）求a，b的值；
（2）求使y取最大值、最小值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）用配方法整理函数解析式，根据sinx的范围和a的范围确定函数的最大和最小值，联立方程可求得a和b．
（2）由函数解析式可得，进而根据二次函数的性质确定y的最大和最小值以及此时x的值．

解答 解：（1）原函数变形为y=-$（sinx+\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a≥0，
∴若0≤a≤2，当sinx=-$\frac{a}{2}$时，
y_max=1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0 ①
当sinx=1时，y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4 ②
联立①②式解得a=2，b=-2，
（2）y取得最大、小值时的x值分别为：
x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）
若a＞2时，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞）
∴y_max=-$（1-\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+b=0  ③
y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4④
由③④得a=2时，而$\frac{a}{2}$=1（舍去），
故只有一组解a=2，b=-2．

点评 本题主要考查了二次函数的性质．可与二次函数图象相联系，利用数形结合的思想来解决，是基础题．