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某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．
（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式；
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；
（3）求该商店月利润的最大值．（定义运算sinα+cosα=

sin(α+

)．

分析：（1）分别设出出厂价波动函数和售价波动函数，利用最高和最低价分别振幅A和B，根据月份求得周期进而求得ω₁和ω₂，根据最大值求得φ₁和φ₂；
（2）由（1）中出厂价格及销售价格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表达式．
（3）利用三角函数的性质即可求出利润函数的最大值．

解答：解：（1）设出厂价格函数为 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]
销售价格函数为g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12}
由题设，A₁=

8-4

=2，k₁=6，ω₁=

2π

4×2

，
A₂=

10-6

=2，k₂=8，ω₂=

2π

4×2

，
将（3，8）代入f（x）可得 2sin（

×3+φ₁）+6=8 得φ₁=-

+2kπ，k∈Z
将（5，10）代入g（x）可得 2sin（

×5+φ₂）+8=10 得φ₂=-

3π

+2kπ，k∈Z
故出厂价格函数为f（x）=2sin（

）+6，x∈[0，12}
销售价格函数为g（x）=2sin（

3π

）+8，x∈[0，12}
（2）设盈利函数为H（x），
则H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（

3π

-）-sin（

）+1]，x∈[0，12}
（3）H（x）=2m[sin（

3π

-）-sin（

）+1]=2m[-cos（

-）-sin（

）+1]
=2m-2

msin(

x)，
∴当sin（

x）=-1时，H（x）取得最大值，最大值为2m+2

m．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数的模型的问题，函数模型的选择与应用，三角函数的值域，考查了三角函数的图象和性质来解决问题．综合性较强，考查学生的计算能力．

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