Question

已知△ABC三边a，b，c所对的三个角分别为A，B，C，且面积可以表示为S=

1

2

a2-

1

2

(b-c)2，那么角A的正弦值sinA=

4

5

．

Answer 1

分析：由条件及S=

1

2

bcsinA 可得

1

2

a2-

1

2

(b-c)2=

1

2

bcsinA，把余弦定理代入可得 2cosA=2-sinA，平方化简可得
5sin²A-4sinA=0，由此求得sinA的值．

解答：解：∵△ABC 的面积S=

1

2

a2-

1

2

(b-c)2，且S=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

a2-

1

2

(b-c)2=

1

2

bcsinA．
把a²=b²+c²-2bc•cosA 代入化简可得 2cosA=2-sinA．
平方化简可得 5sin²A-4sinA=0．
由于sinA≠0，∴sinA=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，三角形中的几何计算，属于中档题．