Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

．设∠BAC=x，记f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）设g（x）=6m•f（x）+1，求实数m，使函数g（x）的值域为（1，

3

2

）．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理，即可求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）求得函数g（x）的解析式，利用值域为（1，

3

2

），可求m的值．

解答：解：（I）∵AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，
∴

AB

sin( π 3 -x)

=

1

sin 2π 3

∴f（x）=AB=

2 3

3

sin(

π

3

-x)（0＜x＜

π

3

）；
（II）g（x）=6m•f（x）+1=2

3

msin(

π

3

-x)+1
∵0＜x＜

π

3

∴0＜

π

3

-x＜

π

3

∴2

3

msin(

π

3

-x)∈（0，3m）
∴2

3

msin(

π

3

-x)+1∈（1，1+3m）
∵函数g（x）的值域为（1，

3

2

），
∴3m+1=

3

2

∴m=

1

6

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的值域，考查学生分析解决问题的能力．