Question

已知向量，向量是与向量夹角为的单位向量．
（1）求向量；
（2）若向量与向量平行，与向量垂直，求t=y²+5x+4的最大值．

Answer 1

解：（1）设=（x，y），
∵向量是单位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量与向量夹角为，
∴cos=，
∴，
解方程组，
得x=0，y=1，或x=，y=-．
∴=（0，1），或=．
（2）∵=（0，1）和向量不平行，
∴向量=，
向量与向量平行，与向量垂直，
∴，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因为-3x²+x＞0
所以0＜x＜，
所以当x=时，t=-3x²+6x+4取最大值t_max=．
分析：（1）设=（x，y），向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，能求出=（0，1），或=．
（2）由=（0，1）和向量不平行，知向量=，由向量与向量平行，与向量垂直，得到3x²-x+y²=0．所以t=y²+5x+4=-3x²+6x+4，再由导数求t的最大值．
点评：本题考查数量积的性质和应用，解题时要认真审题，注意导数的灵活运用．