Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；
（I）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；
（II）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4．

Answer 1

解：（I）令x=y=0
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（0）=f（0）+f（0）+1
∴f（0）=-1，
在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0，
∵当x＞0时、f（x）＞-1，
∴f（x1-x2）＞-1
则f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，
=f（x1-x2）+f（x2）+1＞f（x2），
∴f（x）在R上是单调增函数．
（II）由f（1）=1得：f（2）=3，f（3）=5，
则关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4可化为
关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）+1＞5，
即关于x的不等式；f（x²+x+1）＞f（3），
由（I）的结论知f（x）在R上是单调增函数，
故x²+x+1＞3，
解得：x＜-2或x＞1，
故原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．
分析：（I）根据已知条件中，：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；令x=y=0，即可求出f（0）的值，在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0，根据f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，结合已知条件，即可判断函数的单调性；
（II）若f（1）=1，则我们易将关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4化为f（x²+x+1）＞f（3），结合（I）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质及一元二次不等式的解法，其中解答抽象函数时根据“已知”和“未知”使用“凑”的方法，是解答抽象函数最常用的思路．