Question

5．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+cos2x+a$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两角和与差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出函数f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求出“$2x+\frac{π}{4}$”的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值，根据恒成立列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+cos2x+a$
=$sin2x+cos2x+a=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a$…（4分）
所以函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；…（6分）
（2）∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴$-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
∴$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\sqrt{2}]$，
则$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a∈[-1+a，\sqrt{2}+a]$，…（8分）
∴函数f（x）在区间上的最小值为-1+a，…（9分）
由f（x）＞0恒成立得，-1+a＞0，解得a＞1…（11分）
∴实数a的取值范围为（1，+∞）…（12分）

点评 本题考查正弦函数的性质，两角和与差的正弦公式，及三角函数的周期公式的应用，考查化简、变形能力．