Question

8．证明函数f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$在（-2，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 变形利用减函数的定义即可证明．

解答 解：f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$=$\frac{4}{x+2}$-1，
?x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂．
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{4}{{x}_{1}+2}-1$-$（\frac{4}{{x}_{2}+2}-1）$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
∵x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂．
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$在（-2，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了减函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．