Question

为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续．此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆．据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%．若从2006年年初起n年内退役部分摩托车，第一年退役a万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力．
（1）求n年内新增公交车的总量S_n（万辆）；
（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为b，问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）

Answer 1

【答案】分析：（1）设2006年底退役摩托车为a₁万辆，2007年底为a₂万辆，依此类推，则：a₁=a，a_n+1=0.8a_n，然后根据等比数列的求和公式求出n年内退役的摩托车数量，从而求出n年内新增公交车的总量S_n（万辆）；
（2）根据到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半建立不等关系，解之即可求出第一年至少退役摩托车数量．
解答：解：（1）设2006年底退役摩托车为a₁万辆，2007年底为a₂万辆，依此类推，则：a₁=a，a_n+1=0.8a_n
所以n年内退役的摩托车数量是S’=a₁+a₂+…+a_n=
所以n年内新增公交车的总量S_n=5a（1-0.8ⁿ）4%=0.2a（1-0.8ⁿ）
（2）到2010年年初退役的摩托车数量是：5a（1-0.8⁴）
剩余的摩托车数量是：1.6-5a（1-0.8⁴）
新增公交车的数量S₄=0.2a（1-0.8⁴）
依题：[1.6-5a（1-0.8⁴）]b+0.2a（1-0.8⁴）7b≤0.5×1.6b
解得a≥0.38
所以第一年至少退役摩托车0.38万辆
点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了等比数列的求和以及理解题意的能力，属于中档题．