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已知中心在原点的椭圆C:数学公式+数学公式=1的焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)椭圆C上一点,△MOF1的面积为数学公式
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相较于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程,请说明理由..

解:(1)因为椭圆C的焦点为F1(0,3),∴b2=a2+9,则椭圆C的方程为
∵M(x,4)(x>0)椭圆C上一点,△MOF1的面积为
,∴x=1,∴M(1,4)
代入椭圆C的方程,可得
∴a4-8a2-9=0
∴a2=9
∴椭圆C的方程为
(2)假设存在符合题意的直线l存在,设直线方程为y=4x+m,代入椭圆方程,消去y,可得18x2+8mx+m2-18=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点,所以
∴x1x2+y1y2=0.
∴x1x2+16x1x2+4m(x1+x2)+m2=0
∴17×-4m×+m2=0

此时△=64m2-72(m2-18)>0
∴直线方程为y=4x
分析:(1)根据椭圆C的焦点为F1(0,3),可得椭圆C的方程为,利用M(x,4)(x>0)椭圆C上一点,△MOF1的面积为,求出M的坐标代入椭圆C的方程,即可确定椭圆C的方程;
(2)假设存在符合题意的直线l存在,设直线方程代入椭圆方程,消去y,可得一元二次方程,利用韦达定理,结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点,,即可求得结论.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,确定椭圆方程,正确运用韦达定理是关键.
练习册系列答案
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已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,
2
),且过点A(1,
2
)
,过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.
(1)求椭圆的标准方程;
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已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F(4,0),长轴端点到较近焦点的距离为1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)为椭圆上不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若x1+x2=8,在x轴上是否存在一点D,使|
DA
|=|
DB
|若存在,求出D点的坐标;若不存在,说明理由.

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(2013•广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于
1
2
,则C的方程是(  )

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已知中心在原点的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)椭圆C上一点,△MOF1的面积为
3
2

(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相较于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程,请说明理由..

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已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(
15
,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(  )
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1

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