Question

（2013•未央区三模）设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=

3

8

时，判断方程f（x）=-

1

4

的实数根的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在-1处的函数值大于0即可．
（2）由a=

3

8

可知x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

，从而知函数f（x）在（-1，-

3

4

）上单调递增，在（-

3

4

，-

1

4

）上单调递减，在（-

1

4

，+∞）上单调递增．下面分别讨论函数f（x）在（-1，-

3

4

]和在（-

3

4

，-

1

4

）上实根的情况，即可证得方程f（x）=-

1

4

有且只有一个实数根．

解答：解：（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

．
∵f（x）=ax³+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x²+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为

△=4-8a＞0 2-2+a＞0

，
解得0＜a＜

1

2

；

（2）由a=

3

8

可知x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

，从而知函数f（x）在（-1，-

3

4

）上单调递增，在（-

3

4

，-

1

4

）上单调递减，在（-

1

4

，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-

3

4

]上连续、单调递增，且
f（-

3

4

）=（-

3

4

）²+

3

8

ln（-

3

4

+1）=

9

16

-

3

4

ln2＞-

1

4

，
以及f（-1+

1

e4

）=（-1+

1

e4

）²+

3

8

ln（

1

e4

）=-

1

2

-

2

e4

+

1

e8

＜-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-1，-

3

4

]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-

3

4

，-

1

4

）上单调递减，在（-

1

4

，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-

3

4

，+∞）上的最小值，
f（-

1

4

）=（-

1

4

）²+

3

8

ln（-

1

4

+1）=-

1

16

+

3

8

ln

3

4

＞-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-

3

4

，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-

1

4

有且只有一个实数根．

点评：本题主要考查函数的导数、极值等基础、根的存在性及根的个数判断等基本知识，考查计算能力，属于中档题．