Question

某学生在复习函数内容时，得出如下一些结论：
①函数f（x）=x+

1

x

在（-∞，0）上有最大值-2；
②函数f（x）=

1

ln(x+2)

在（-2，+∞）上是减函数；
③?a∈R，使函数f（x）=

x

(2x+1)(x-a)

为奇函数；
④对数函数具有性质“对任意实数x，y，满足f（xy）=f（x）+f（y）．”；
其中正确的结论是

 

（填写你认为正确的结论的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,特称命题

专题：函数的性质及应用

分析：①根据基本不等式的性质进行判断，
②根据函数的定义域进行判断，
③根据函数奇偶性的定义进行判断，
④根据对数函数的性质进行进行．

解答： 解：①当x＜0时，函数f（x）=x+

1

x

≤-2

(-x)• 1 -x

=-2，当且仅当x=-1时取等号，故函数f（x）在（-∞，0）上有最大值-2；正确，
②当ln（x+2）=0，即x=-1时，函数f（x）无意义，故函数f（x）=

1

ln(x+2)

的在（-2，+∞）上是减函数错误；
③若函数f（x）=

x

(2x+1)(x-a)

为奇函数，则f（-x）=-f（x），即

-x

(-2x+1)(-x-a)

=-

x

(2x+1)(x-a)

，整理4ax=2x，解得a=

1

2

，故③正确，
④若函数为对数函数，则满足x＞0，y＞0，则对数函数具有性质“对任意实数x，y，满足f（xy）=f（x）+f（y）．”错误；
故正确的是①③，
故答案为：①③

点评：本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握函数的常见性质．