Question

5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为13π

Answer 1

分析 由三视图还原原图形，然后找出外接球的球心，求出半径，则几何体的外接球的表面积可求．

解答 解：由三视图可知，原几何体底面四边形中，AD=$AB=\sqrt{2}$，AD⊥AB
过C作CH⊥AB于H，则H为AB的中点，连接BD交CH于G，则G为BD中点，
∵CH=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CG=GD=GB=GA=1，
过G作GO∥AP，且使GO=$\frac{1}{2}AP$，则O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，
∵PA=3，
∴GO=$\frac{3}{2}$，又AG=1，
∴$O{A}^{2}=A{G}^{2}+O{G}^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}+1=\frac{13}{4}$．
∴几何体的外接球的表面积为$4π•O{A}^{2}=4π×\frac{13}{4}=13π$．
故答案为：13π．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，关键是由三视图还原原图形，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．