Question

已知f（x）是偶函数，且在[a，b]上是减函数，试判断f（x）在[-b，-a]上的单调性，并给出证明．

Answer 1

解：任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且-b≤x₁＜x₂≤-a
则a≤-x₂＜-x₁≤b
又∵f（x）在[a，b]上是减函数，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x₂）=f（x₂），f（-x₁）=f（x₁）
∴f（x₂）＞f（x₁）
即f（x）在[-b，-a]上单调递增
分析：利用作差法我们可以任取区间上满足-b≤x₁＜x₂≤-a的两个实数，再根据函数f（x）是偶函数，且在[a，b]上是减函数，易判断函数f（x）在[-b，-a]上的单调性．
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，利用做差法证明函数的单调性是最基本最常用的方法，但对于抽象函数单调性的判断和证明则要多利用函数奇偶性图象对称的性质进行处理．