Question

已知关于x的函数f（x）=（-2a+3b-5）x+8a-5b-1．如果x∈[-1，1]时，其图象恒在x轴的上方，则

b

a

的取值范围是

(-∞，

3

2

)∪(3，+∞)

．

Answer 1

分析：由题意可得f（1）＞0且f（-1）＞0，解得3a-b-3＞0且5a-4b+2＞0，接下来用线性规划解决问题，画出可行域，根据 

b

a

表示可行域内的点（a，b）和原点O连线的斜率，求出

b

a

的取值范围．

解答：解：要使图象全在x轴上方，即函数f（x）在-1≤x≤1时函数值恒大于0，
只需保证f（1）＞0且f（-1）＞0，即线段两端点的函数值都大于0，就可使整个线段上点的函数值大于0．
所以（-2a+3b-5）+8a-5b-1=6a-2b-6＞0，即3a-b-3＞0；
-（-2a+3b-5）+8a-5b-1=10a-8b+4＞0，即5a-4b+2＞0．
接下来用线性规划解决问题，如图，画出可行域：直线3a-b-3=0和直线5a-4b+2=0形成的角型区域BAC．
 

b

a

表示可行域内的点（a，b）和原点O连线的斜率．
由于A（2，3），OA的斜率为

3

2

，故

b

a

的取值范围是 (-∞，

3

2

)∪(3，+∞)．

点评：本题主要考查简单的线性规划问题，体现了数形结合及等价转化的数学思想，属于基础题．