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如图,已知等腰梯形ABCQ,AB∥CQ,CQ=2AB=2BC=4,D是CQ的中点,∠BCQ=60°,将△QDA沿AD折起,点Q变为点P,使平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)求证:△PBC是直角三角形;
(3)求三棱锥P-BCD的体积.
【答案】分析:(1)欲证BC∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC与平面PAD内一直线平行,易证ABCD是平行四边形,则BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,满足定理所需条件;
(2)由题意可知ABCD是菱形,取AD中点E,连PE,BE,根据面面垂直的性质定理可知PE⊥平面ABCD,则PE⊥BC.又BC∥AD,从而BC⊥BE.又PE∩BE=E,根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面PEB,则BC⊥PB,从而得到结论;
(3)先求出PE,三角形BCD的面积,然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可.
解答:解:(1)证明:∵AB∥CQ,D是CQ的中点,
∴AB∥CD,AB=CD,∴ABCD是平行四边形,∴BC∥AD.
又∵BC?平面PAD,AD?平面PAD,∴BC∥平面PAD.
(2)∵∠BCQ=60°,AB=BC,
∴ABCD是菱形,∴△PDA,△BDA均为等边三角形.
取AD中点E,连PE,BE.∴PE⊥AD,BE⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,
∴PE⊥平面ABCD,∴PE⊥BC.
又∵BC∥AD,∴BC⊥BE.又∵PE∩BE=E,
∴BC⊥平面PEB,∴BC⊥PB.
∴△PBC是直角三角形.
(3)∵

∴三棱锥P-BCD的体积为1.
点评:本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算,同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想,属于基础题.
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精英家教网汶川大地震后,为了消除某堰塞湖可能造成的危险,救授指挥部商定,给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽(如图所示)进行引流,已知等腰梯形的下底与腰的长度都为a,且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比,比例系数k>0.
(1)试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数f(θ);
(2)为确保人民的生命财产安全,请你设计一个方案,使单位时间内水槽的流量最大(即当θ为多大时,单位时间内水槽的流量最大).

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精英家教网已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=2a=|
QP
|+|
QP′
|=
(
5
2
-2)
2
+(
3
2
)
2
+
(
5
2
+2)
2
+(
3
2
)
2
=2
10
,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2)
(I)证明:平面PAD⊥PCD;
(II)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VMACB=2:1;
(III)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.

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如图,已知ABCD是底角为30°的等腰梯形,AD=2
3
,BC=4
3
,取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H,则
AG
AC
=(  )

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如图,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|,E为AC上一点,且
AE
EC
.又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点.若λ∈[
2
3
3
4
]
,则双曲线离心率e的取值范围为(  )

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科目:高中数学 来源:东北育才学校2008-2009学年度高三模拟试题(理科数学) 2009.5.20 题型:013

如图,已知等腰梯形ABCD中,BC=2AB=2AD=2CD,P为对角线BD上一点(不包括端点),则

[  ]

A.

B.

C.

D.

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