【题目】已知函数= .
(1)是否存在实数使函数是奇函数?并说明理由;
(2)在(1)的条件下,当时, 恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)存在满足题意.(2)
【解析】试题分析:(1)由=得=,可得a=1;(2)利用函数单调性的定义证明函数在上是增函数,则原不等式等价于= ,即,当时恒成立,设=,再利用函数单调性的定义证明在上是减函数,在上是增函数,即可求出求值,即可得出结论.
试题解析:(1)当函数是奇函数,由得, =,
解得.
(2)函数,任取,设
则==,
因为函数在上是增函数,且所以,
又,所以,即,
所以函数在上是增函数,因为是奇函数,
从而不等式等价于= ,
因为函数在上是增函数,所以,所以当时恒成立.
设,任取,且则==,
当且时, ,
所以,所以在上是减函数;
当且时, ,
所以,所以在上是增函数,所以= =,
即,所以的取值范围为
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【题目】在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次,在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率为0.25,在B处的命中率为0.8,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分.
(1)求该同学投篮3次的概率;
(2)求随机变量X的数学期望E(X).
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【题目】学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴.
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
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【题目】已知曲线C:x2+y2-2x-4y+m=0
(1)当m为何值时,曲线C表示圆;
(2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值。
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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【题目】某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”,其主体是一个半径为5米的球体,需设计一个透明的支撑物将其托起,该支撑物为等边圆柱形的侧面,厚度忽略不计.轴截面如图所示,设.(注:底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱.)
(1)用表示圆柱的高;
(2)实践表明,当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时,景观的观赏效
果最佳,求此时的值.
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