Question

【题目】已知椭圆C： =1的离心率为 ，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得 为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得2c=2，e= = ，

可得c=1，a= ，b= =1，

即有椭圆的方程为 +y2=1

（2）解：在x轴上假设存在定点M（m，0），使得 为定值．

若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），

由y=k（x﹣1）代入椭圆方程x2+2y2=2，

可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]

=k2（ +1﹣ ）=﹣ ，

则 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2

= +m2﹣m ﹣ = ，

欲使得 为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），

解得m= ，

此时 = ﹣2=﹣ ；

当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=± ，

由M（ ，0），可得 ﹣ ，符合题意．

故在x轴上存在定点M（ ，0），使得 为定值﹣

【解析】（1）由题意可得c=1，运用离心率公式可得a= ，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得 为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．