Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（2）从奇偶性和单调性的角度考虑，这样的函数f（x）还具有什么样的性质？将它写出来，并加以证明；
（3）若f(-

1

2

)=1，试解方程f(x)=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式，求出函数的定义域．利用对数的运算法则，计算f（x）+f（y）与f(

x+y

1+xy

)并加以对照，由对数的运算性质及当x＜0时f（x）为正数，可得答案．
（2）令x=y=0求得f（0）的值，再令y=-x，利用奇偶性的定义可得函数是（-1，1）上的奇函数．由f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)及当x＜0时f（x）＞0，结合函数单调性的定义证明，可得f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）根据（2）中函数的奇偶性，将f（-

1

2

）=1化为f（

1

2

）=-1，进而根据f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)将抽象不等式具体化，得到关于x的方程，解之可得答案．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)
=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，
∴

1-x

1+x

＞1可得ln

1-x

1+x

＞0
∴f(x)=ln

1-x

1+x

满足这些条件．
（2）结论：函数f（x）是（-1，1）上的奇函数且是（-1，1）上的单调减函数．
证明如下
∵f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
因此，f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
∴当-1＜x＜y＜1时

x-y

1-xy

＜0，由条件知f(

x-y

1-xy

)＞0，可得f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，f(-

1

2

)=1
∴f(

1

2

)=-1，方程f(x)=-

1

2

即2f（x）=-1
∵2f（x）=f（x）+f（x）=f(

2x

1+x2

)，f（x）在（-1，1）上是单调函数，
∴由f(

2x

1+x2

)=-1，得

2x

1+x2

=

1

2

，解之得x=2±

3

，
由于2+

3

∉（-1，1），故x=2-

3

．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求函数的单调性、奇偶性并解关于x的方程．着重考查了函数的定义、函数的简单性质和赋值法研究抽象函数的等知识，属于中档题．