精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.已知函数f(x)=$\sqrt{4-x}+{log_3}$(x-2)的定义域为集合A,函数$g(x)={log_2}x,(\frac{1}{4}≤x≤8)$的值域为集合B.
(1)求A∪B;
(2)若集合C={x|a≤x≤3a-1},且B∩C=C,求实数a的取值范围.

分析 (1)先求出集合A={x|2<x≤4},B={x|-2≤x≤3},再直接取它们的并集;
(2)问题等价为C⊆B,再对集合C分类讨论,得出实数a的取值范围.

解答 解(1)函数f(x)的自变量x需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{4-x≥0}\\{2-x>0}\end{array}\right.$,
解得,2<x≤4,所以,A={x|2<x≤4},
对于函数g(x),因为$\frac{1}{4}$≤x≤8,
所以,g(x)=log2x∈[-2,3],
因此,B={x|-2≤x≤3},
所以,A∪B={x|-2≤x≤4};
(2)由B∩C=C得,C⊆B,对集合C讨论如下:
①当C=∅时,a>3a-1,解得a<$\frac{1}{2}$,
因为空集是任何集合的子集,故符合题意;
②当C≠∅时,需要满足下列条件:
$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a-1}\\{a≥-2}\\{3a-1≤3}\end{array}\right.$,解得,$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$,
综合以上讨论得,实数a的取值范围为:(-∞,$\frac{4}{3}$].

点评 本题主要考查了交集及其运算,对数函数的图象与性质,以及空集的性质,体现了分类讨论的解题思想,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.f(x)=sin(x+θ),|θ|<$\frac{π}{2}$,函数图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的函数为奇函数,则θ值等于(  )
A.$\frac{π}{2}$B.$\frac{π}{6}$C.$\frac{π}{3}$D.-$\frac{π}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t为参数),曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知a,b都是正实数,且满足log9(9a+b)=log3$\sqrt{ab}$,则3a+b的最小值为12+6$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求证:平面AA1C1C⊥平面A1BD
(2)求直线A1B与平面A1B1CD所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知全集U=R,集合A={x|4x+a>0},B={x|x2-2x-3>0}.
(1)当a=4时,求集合A∩B;
(2)若A∩(∁UB)=∅,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.(理)下列四个命题中真命题的序号是①③.
①若存在实数x,y,使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$,则$\overrightarrow P$与$\overrightarrow a,\overrightarrow b$共面;
②若$\overrightarrow P$与$\overrightarrow a,\overrightarrow b$共面,则存在实数x,y,使$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$;
③若存在实数x,y,使$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$,则P,M,A,B共面;
④若P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}\;-\;\frac{y^2}{b^2}\;=\;1\;({a>0,b>0})$与圆${x^2}+{y^2}\;={c^2}\;({c\;=\sqrt{{a^2}+{b^2}}})$交于A、B、C、D四点,若四边形ABCD是正方形,则双曲线的离心率是(  )
A.$\sqrt{2+\sqrt{2}}$B.$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$C.$\sqrt{1+\sqrt{2}}$D.$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.数列{an}中,a1=1,(n-1)an-nan-1=2n(n-1)(n≥2).
(1)证明{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列并求数列{an}的通项公式;
(2)证明:$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$<$\frac{3}{2}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案