Question

如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥体，点为圆锥体底面圆周上的一点，且.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离.

Answer 1

（1）  （2）

解析:

（1）解法一：设中点为，联结、，

则设异面直线与所成角即为.

 由，所以底面，于是.

    又，,

    因此，. 即异面直线与所成角的大小为．

解法二：以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的大小为．

（2）由条件，底面圆周长为，母线长.

故该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角大小为，

即展开图恰好为一个半圆（如图）.

由条件，故展开图中， ，此时的长即为所求.

由余弦定理，，

故从点C出发在圆锥体表面运动到点D的最短距离为.