【题目】已知圆M: 和点 ,动圆P经过点N且与圆M相切,圆心P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点,点B,C在曲线E上,若直线AB,AC的斜率分别是k1 , k2 , 满足k1k2=9,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)解:圆M: 的圆心为M(0,﹣ ),半径为2 ,
点N(0, ),在圆M内,因为动圆P经过点N且与圆M相切,
所以动圆P与圆M内切.设动圆P半径为r,则2 =|PM|.
因为动圆P经过点N,所以r=|PN|,|PM|+|PN|= >|MN|,
所以曲线E是M,N为焦点,长轴长为2 的椭圆.
由a= ,c= ,得b2=3﹣2=1,
所以曲线E的方程为:
(2)解:直线BC斜率为0时,不合题意;
设B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC:x=ty+m,
联立方程组 ,得(1+3t2)y2+6mty+3m2﹣3=0,
y1+y2= ,y1y2= ,
又k1k2=9,知y1y2=9(x1﹣1)(x2﹣1)=9(ty1﹣1+m)(ty2﹣1+m)
=9t2y1y2+9(m﹣1)t(y1+y2)+9(m﹣1)2.
且m≠1,y1+y2= ,y1y2= ,代入化简得(9t2﹣1)(m+1)﹣18mt2+3(m﹣1)(1+3t2)=0,
解得m=2,故直线BC过定点(2,0),
由△>0,解得t2>1,
S△ABC= |y2﹣y1|= = = ,
(当且仅当 时取等号).
综上,△ABC面积的最大值为:
【解析】(1)先根据圆M的一般方程求得其圆心坐标及半径,再结合点N的位置判断圆M与圆P是内切还是外切,因此可列出两个圆的半径与其圆心距的关系,从而得到|PM|+|PN|=>|MN|,有椭圆定义可得曲线E的方程;(2)先根据所给条件判断直线BC的特征,再利用三角形ABC的特点列出面积公式并求其取值范围进而求得三角形面积的最大值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=alnx﹣4x,g(x)=﹣x2﹣3. (Ⅰ)求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x0∈[e,e2],使得f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于空间两不同的直线,两不同的平面,有下列推理:
(1), (2),(3)
(4), (5)
其中推理正确的序号为( )
A. (1)(3)(4) B. (2)(3)(5) C. (4)(5) D. (2)(3)(4)(5)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆:,直线: .
(1)设点是直线上的一动点,过点作圆的两条切线,切点分别为,求四边形的面积的最小值;
(2)过作直线的垂线交圆于点, 为关于轴的对称点,若是圆上异于的两个不同点,且满足: ,试证明直线的斜率为定值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com