已知定点,过点F且与直线
相切的动圆圆心为点M,记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若点A的坐标为,与曲线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线
于点S,T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
(1).(2)以线段
为直径的圆恒过两个定点
.
解析试题分析:(1)根据抛物线的定义可知,点的轨迹是以点
为焦点,
为准线的抛物线.
可得曲线的方程为
.
(2)设点的坐标分别为
,依题意得,
.
由消去
得
,
应用韦达定理.
直线的斜率
,
故直线的方程为
.
令,得
,
得到点的坐标为
.点
的坐标为
.
得到.
设线段的中点坐标为
,
而.
故以线段为直径的圆的方程为
.
令,得
,解得
或
.
确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点
.
(1)由题意, 点到点
的距离等于它到直线
的距离,
故点的轨迹是以点
为焦点,
为准线的抛物线.
∴曲线的方程为
. 4分
(2)设点的坐标分别为
,依题意得,
.
由消去
得
,
∴. 6分
直线的斜率
,
故直线的方程为
.
令,得
,
∴点的坐标为
.
同理可得点的坐标为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线
:
上任一点(
点不同于
),直线
与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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已知椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线
:
上任一点(
点不同于
),直线
与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分6分.
已知椭圆过点
,两焦点为
、
,
是坐标原点,不经过原点的直线
与椭圆交于两不同点
、
.
(1)求椭圆C的方程;
(2) 当时,求
面积的最大值;
(3) 若直线、
、
的斜率依次成等比数列,求直线
的斜率
.
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如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
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在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆
+
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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(2013•湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.
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已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在与椭圆交于
两点的直线
:
,使得
成立?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由.
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设椭圆的中心和抛物线
的顶点均为原点
,
、
的焦点均在
轴上,过
的焦点F作直线
,与
交于A、B两点,在
、
上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求,
的标准方程;
(2)若与
交于C、D两点,
为
的左焦点,求
的最小值;
(3)点是
上的两点,且
,求证:
为定值;反之,当
为此定值时,
是否成立?请说明理由.
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