Question

定义在(-1，1)上的函数f(x)满足:

①对任意x、y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)= .?

②当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0.

(1)求证:函数f(x)是奇函数；

(2)判断f(x)在(-1，1)上的单调性，并加以证明；

(3)设-1＜a＜1，试求不等式f(a)+f()＞0的解.

Answer 1

(1)证明:令x=y=0，得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.?

令y=x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0.?

∴f(x)在(-1，1)上是奇函数.

(2)证明:设-1＜x₁＜x₂＜0，则?

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=.?

∵-1＜x₁＜x₂＜0,∴0＜x₁x₂＜1.?

∴.?

∴-1＜＜0.∴f(x₁)-f(x₂)＞0.?

∴f(x)在(-1，0)上是单调减函数.?

又∵f(x)在(-1，1)上是奇函数，?

∴f(x)在(-1，1)上是单调减函数.

(3)解析:由-1＜ ＜1可得||＜1,得|x-1|＞1,?

∴x＞2或x＜0.?

∵f(a)+f()＞0,∴f()＞f(-a).?

∴＜-a.?

①当a=0时，x＞1;?

②当-1＜a＜0时，x＜1+或x＞1；?

③当0＜a＜1时，1＜x＜1+.?

综上,可知①a=0时，x＞2;②-1＜a＜0时，x＜1+或x＞2;③0＜a＜1时，2＜x＜1+.