Question

某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%．现有三个奖励模型：，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

Answer 1

解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%…（2分）
对于y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5，不满足公司的要求；…（4分）
对于y=1.003^x，易知满足①，∵1.003⁶⁰⁰≈6，故当x＞600时，不满足公司的要求；…（6分）
对于y=lnx+1，易知满足①，当x∈[10，1000]时时，y≤ln1000+1…（7分）
下面证明ln1000+1＜5．
∵e⁸≈2981，
∴ln1000+1-5=ln1000-4=（ln1000-8）=（ln1000-ln2981）＜0，满足②…（8分）
再证明lnx+1≤x•25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）
设F（x）=2lnx+4-x，则F′（x）=-1=＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上为减函数，F（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，满足③…（12分）
综上，奖励模型y=lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）
分析：由题意，当x∈[10，1000]时，模型需同时满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25，对y=0.025x，y=1.003^x，y=lnx+1三个函数逐一分析即可．
点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，构造函数F（x）=2lnx+4-x，利用导数研究其单调性与最值是关键，也是难点所在，突出考查转化思想与综合分析的能力，属于难题．