【题目】(本小题满分14分)如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.
(1)证明:平面;
(2)证明:;
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)由四边形是长方形可证,进而可证平面;(2)先证,再证平面,进而可证;(3)取的中点,连结和,先证平面,再设点到平面的距离为,利用可得的值,进而可得点到平面的距离.
试题解析:(1)因为四边形是长方形,所以,因为平面,平面,所以平面
(2)因为四边形是长方形,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以
(3)取的中点,连结和,因为,所以,在中,
,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,由(2)知:平面,由(1)知:,所以平面,因为平面,所以,设点到平面的距离为,因为,所以,即,所以点到平面的距离是
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【题目】圆台的上、下底面半径分别为、,母线长,从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点(在下底面),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
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【题目】对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.
(1)函数,是否为的生成函数?说明理由;
(2)设,,当时生成函数,求的对称中心(不必证明);
(3)设,,取,,生成函数,若函数的最小值是5,求实数的值.
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【题目】下列说法:
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;
②设有一个线性回归方程,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位;
③设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x和y之间的线性相关程度越强;
④在一个2×2列联表中,由计算得K2的值,则K2的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大.
以上错误结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时, x2+ln x<x3.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程及焦点坐标.
(Ⅱ)过椭圆的右焦点作轴的垂线,交椭圆于、两点,过椭圆上不同于点、的任意一点,作直线、分别交轴于、两点.证明:点、的横坐标之积为定值.
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【题目】设是一个由和构成的行列的数表,且中所有数字之和不小于,所有这样的数表构成的集合记为,记为的第行各数之和,为的第列各数之和,为、、,、、、、中的最大值.
(1)对如下数表,求的值;
(2)设数表,求的最小值;
(3)已知为正整数,对于所有的,,且的任意两行中最多有列各数之和为,求的值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:平面PCD;
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
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【题目】某手机生产厂商为迎接5G时代的到来,要生产一款5G手机,在生产之前,该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查,共调查了400人,将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组,分别是:,,,,,(单位:英寸),得到如下频率分布直方图:
其中,屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
(1)求a和b的值;
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈,并在6人中选择2人做代表发言,则这2人来自同一分组的概率是多少?
(3)若以厂家此次调查结果的频率作为概率,市场随机调查两人,这两人屏幕需求尺寸分别在和的概率是多少?
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