Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x，x≤2\\{log_2}x-a，x＞2\end{array}\right.$有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0）
• B． （1，2]
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由分段函数，分别判断x＞2时，x≤2时，f（x）的单调性，可得恰有一个零点，由对数函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：由函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x，x≤2\\{log_2}x-a，x＞2\end{array}\right.$，
可得x＞2时，f（x）=log₂x-a递增，f（x）最多一个零点；
x≤2时，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，为增函数，f（x）最多一个零点．
当x＞2时，f（x）=0，即有a=log₂x，由x＞2，可得a＞1．
当x≤2时，f（x）=0，可得x=0或4（舍去），
则实数a的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的零点问题解法，注意运用定义法和函数的单调性，考查方程思想，运算求解能力，属于中档题．